求y=arctan[x+1/(x-2)]的导数计算

主要内容：

本文通过复合函数求导、反函数求导等方法，介绍计算y=arctan[x+1/(x-2)]导数的主要过程。

主要步骤：

※.直接求导法

解：对于反正切函数y=arctanx，其导数为y=1/(1+x^2)，

本题是正切函数的复合函数，其求导过程如下：

dy/dx=[x+1/(x-2)]’/{1+[x+1/(x-2)]^2}

=[1-1/(x-2)^2]*(x-2)^2/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2},

※.反函数求导法

反函数的求导公式为：[f^(-1)(x)]’=1/f'(y)。

对于本题，函数y=arctan[x+1/(x-2)]的反函数为：

tany=x+1/(x-2)，

此时有：y’=1/(tan’y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=1x+1/(x-2)两边平方有：

(tany)^2=[x+1/(x-2)]^2，即：

(tany)^2=[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2,

进一步代入导数中并化简可有：

y’=1/{1+[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2}*[x+1/(x-2)]’

=(x-2)^2/{[x(x-2)+1]^2+(x-2)^2]}*[1-1/(x-2)^2]

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}。

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