x^3-3x^2+1=0

↔(x^3+1)^3=(3x^2)^3

↔x^9-24x^6+3x^3+1=0

令y=x^3，则

y^3-24y^2+3y+1=0，

此方程根即为原方程根的3次方，

故依韦达定理得

α^3+β^3+γ^3=24，

α^3β^3+β^3γ^3+γ^3α^3=3。

提示:三根之和为0,积为-1,两两乘积之和为-3。

根据三阶韦达定理

α+β+γ=3，

αβ+βγ+γα=0，

αβγ=-1，

以及x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]。

可得

①α^3+β^3+γ^3

=3αβγ+(α+β+γ)[(α+β+γ)^2-3(αβ+βγ+γα)]

=3*(-1)+3*(3^2-3*0)=24。

②(α^3)(β^3)+(β^3)(γ^3)+(γ^3)(α^3)

=(αβ)^3+(βγ)^3+(γα)^3

=3(αβγ)^2+(αβ+βγ+γα)[(αβ+βγ+γα)^2-3(αβγ)(α+β+γ)]

=3(-1)^2+0=3。

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